Диалог как стихия вопрошания
Клепиков В.Н., Титова Мария
(г. Обнинск, Россия, МБОУ СОШ №6)
Klepikovvn@mail.ru
Согласно концепции Ю.С. Мануйлова, для эффективного образования учащихся требуется создание особой развивающей среды, которая позволяет опосредованно влиять на их внутренний мир. Незаменимую роль в этом процессе играет учебный диалог, как свободная и самобытная «стихия вопрошания» [1].
В нашей школе существует научное общество учащихся «Многогранник». Одной из важных целей его работы является обогащение обычных уроков и внеурочных занятий теми маленькими открытиями, которые произошли в процессе осуществления исследовательских работ.
Всё началось с того, что однажды на уроке математики в 6 классе на вопрос педагога «В чём различие между частью и долей?» один из учащихся ответил: «Доля, в отличие от части, всегда помнит о целом». Этот эвристический ответ стал началом исследовательской работы Титовой Марии «Целое, доля и часть в математике и жизни». Цель работы: достигнуть понимания того, что между понятиями «целое», «доля» и «часть» существует глубинная взаимосвязь, которую можно найти как в математике, так и в жизни. Идея: Триада «целое – доля – часть» имеет универсальное значение, а значит, имеет большое влияние на интеллектуальное развитие человека. Проблема: почему так важно при взаимодействии с миром исходить из понятий «целое», «доля» и «часть»?
После написания работы возникла мысль провести заседание НОУ «Многогранник», посвящённое данным метапредметным понятиям. Мы решили: во-первых, продумать заранее вопросы, которые будем задавать; во-вторых, сделать опорную презентацию, в которой проиллюстрируем наиважнейшие моменты; в-третьих, в ходе вопрошания провоцировать ребят на креативные вопросы и ответы, то есть как бы их подстёгивать; в-четвёртых, в процессе диалога делать важные исторические вставки-справки. Однако в ходе реального диалога «всё смешалось»: задавали различные вопросы и отвечали почти все. Поэтому при воспроизведении диалога мы не стали расписывать, кто именно задал тот или иной вопрос и кто на него ответил: ведь гораздо существеннее возникновение самой Стихии вопрошания, поиска и творчества.
— Уважаемые ребята! Сегодня на очередном заседании научного общества учащихся «Многогранник» в процессе диалога мы попробуем осмыслить понятия «целое», «доля» и «часть» в контексте интеллектуальной жизни человека. Давайте вспомним, как найти целое, долю и часть.
— Как найти: ¼ от 1 часа; 15 минут от 1 часа; неизвестную величину, если 15 минут есть ¼ часа?
— Очевидно, что ответом являются уже известные числа: 15 минут, ¼, 60 минут или 1 час.
— Какие понятия нам нужны, чтобы решить эти примеры?
— Понятия «целое», «доля» и «часть».
— Что в данных примерах является целым, долей, частью?
— 15 минут – часть, ¼ – доля, 1 час – целое.
— Какое понятие связывает два других?
— Это доля, так как это единственное из данных чисел, которое связывает два других – целое и часть. Доля ¼связывает числа 15 и 60 (¼ = 15/60).
— Почему «единственное»? А разве число 15/60 не «помнит» о 1 и 4?
— Да, если числа 15 и 60 составляют отношение, то они также становятся долей.
— Здесь явно проявляется свойство пластичности пропорции: в ней мы можем менять местами крайние и средние члены.
— А как доля связывает другие два числа?
— Она их связывает в движении, ведь чтобы связать целое и часть их нужно сопоставить, соизмерить, сравнить. Например, чтобы показать ¼по отношению к части и целому нужно проделать следующую процедуру.

— Действительно, когда мы нечто измеряем, то мысленно прокручиваем, прикидываем, сколько выбранных единиц измерения до намеченного места.
— Кстати, расстояние я могу измерять, например, карандашом, ручкой, указкой, своим шагом, ладонью и т.д. Тогда они выступают в роли меры, а не 1 метр!
— На Руси были такие единицы измерения, как ладонь, шаг, сажень, локоть, пядь и т.д. Другими словами, единицы измерения были как бы одушевлёнными, связанными с человеческим телом.
— Кстати, интересно, что на Руси данные математические понятия были замечательным образом связаны с повседневной культурой людей. Например, согласно народным представлениям, каждый человек, как органичная часть мира, при рождении наделялся своей, определённой долей. Она рассматривалась не сама по себе, а соотносилась с понятием чего-то целого. Этим целым в традиционном российском сознании представлялось всеобщее народное благо. В мифологических представлениях образу Доли как хорошей судьбы нередко противостоит Недоля, как олицетворение неудачной, плохой жизни. По некоторым поверьям, хорошая доля может оставить человека, если он всё время грешит.
— Если искать какое-либо число, символизирующее живую мысль, то это, конечно, доля. Именно живая мысль постоянно сравнивает, сопоставляет, анализирует, т.е. устанавливает соответствия, отношения.
— Доля напоминает работу интеллекта, который также всё осмысливает и приводит в порядок, то есть наделяет всё соразмерной долей.
— А что такое целое?
— Это нечто самое большое.
— Это всё, то есть это то, что охватывает всё.
— Целое объединяет различные вещи.
— А всегда ли целое есть что-то самое большое?
— В математических задачах целое не всегда бывает самой большой величиной.
— Более того, часто в задачах фигурируют несколько целых. Например, в первый день продали 20% всего товара, во второй – 30% остатка, а в третий – 40% оставшегося товара. Здесь мы вычисляем относительно трёх целых
— Так что же такое целое?
— Это то, относительно чего мы вычисляем или измеряем.
— А может ли часть быть больше целого?
— Конечно, не может.
— В каком-то смысле может, если доля больше 1, например, находим 4/3 от 30. Получаем 40, а целое – 30.
— Да, но получившееся число 40 – это тоже уже целое.
— Получается так, что величины в задачах могут выступать одновременно и как часть, и как целое?
— Философы бы сказали – здесь мы обнаруживаем диалектику!
— Другими словами, в математике очень важно относительно чего мы размышляем.
— В этом и состоит трудность решения задач на целое, долю и часть.
— Теперь можно отчасти понять загадочное высказывание Аристотеля о том, что целое предшествует частям.
— Почему загадочное? Ведь все живые организмы рождаются не по частям, а сразу целыми.
— Существует на эту тему забавная байка о Ходже Насреддине. Как-то ночью, когда Насреддин сладко спал, жена растолкала его и говорит: «Ребёнок целый час плачет, неужели ты не слышишь? Ведь он наполовину твой! Покачай его».А Насреддин отвечает: «Моя половина пусть плачет. Успокой свою половину». С этими словами он повернулся к стене и заснул.
— Да, половина ребёнка – это круто!
— То, что в математике можно делить, в жизни – категорически нельзя.
— А можно ли частью измерить целое?
— В начальной школе мы из частей составляли целое, поэтому с этой точки зрения можно.
— Да, но часть тоже ведь с помощью чего-то измеряется. А для этого опять же нужно целое, например, 1 метр.
— Конечно нельзя, так как не часть, а именно целое задаёт всему меру. Например, если я скажу, что проехал некоторое расстояние, то без меры-целого невозможно определить, какое это расстояние по величине. Таким образом, без целого часть есть нечто неопределённое.
— Недаром, когда хотят о чём-то сказать негативное, то говорят, что это нечто частное, то есть малозначащее, ущербное, неопределённое.
— Вспоминается мультфильм-притча «Тридцать восемь попугаев». Мартышка пытается сначала измерить удава с помощью самого же удава. Удав протестует, когда мартышка говорит, что он составляет две половины, и заявляет, что он целый.
— Удав понимает, что живое существо нельзя составить из частей.
— Да, затем приходит попугай и подсказывает, что измерить удава можно лишь с помощью того, что находится вне его, например, с помощью его самого – попугая. И тут у героев наступает прозрение: удава измеряют с помощью мартышки, потом с помощью слонёнка.
— Кстати, когда попугай измерил удава, то получилось не ровно тридцать восемь попугаев, а тридцать восемь попугаев и одно крылышко.
— Другими словами, дробь. Точнее – смешанное число.
— А к чему вы вспомнили этот мультфильм?
— Здесь, кажется, возникает ещё один вопрос. Может ли целое-удав измерить самого себя?
— Нет, если требуется что-то измерить, нужно взять за целое нечто другое. Поэтому целым выступает уже не сам удав, а попугай, мартышка или слонёнок.
— Значит, получается так: то, что нам нужно измерить, как бы приобщается к идеальной мере, эталону, в частности, к 1 метру?
— Да, поэтому часть – это то, что приобщается к целому и благодаря этому соответствию приобретает размерность.
— Кстати, часть сама по себе не помнит о целом, как, впрочем, и целое – о части. Например, если у меня в кармане 5 конфет, то по данной части невозможно сказать, сколько у меня всего конфет. Однако если я скажу, что это половина всех конфет, то сразу же станет ясно, сколько я имею конфет.
— Поэтому приобщение к целому возможно только через посредство доли.
— Получается так, что без посредства доли часть и целое обречены на вечное одиночество.
— Это действительно так, если не называть целым, например, простую сумму частей-отрезков его составляющих.
— Да, но в таком случае целое разбивается на бесконечную сумму отрезков, которые не играют по отношению к целому существенной роли, так как в этом случае целое однозначно всегда больше любого из отрезков.
— Делением отрезка на части мы занимались в младшей школе, а сейчас нам более интересно то, что отрезки можно измерять не только с помощью сантиметров, но и с помощью долей.
— Странная эта доля: она как бы живая, без неё невозможна никакая связь.
— А разве целое менее загадочно? Ведь оно может быть по размерам, каким угодно, и, несмотря на это, именно оно даёт всему меру!
— Действительно, даже если целое очень маленькое, например, 1 миллиметр, то оно и тогда есть целое.
— Вспоминается поговорка: «Мал золотник, да дорог».
— А что в духовной жизни человека выступает в качестве меры, эталона или целого?
— Это идеалы, ценности, принципы. Приобщаясь к ним, человек самосовершенствуется.
— Более того, целое лишний раз напоминает, что целостные явления жизни нельзя делить на части. Например, нельзя любить на четверть или дружить на треть.
— Что же касается части, то она также может быть какой угодно по величине.
— Однако безмерная часть может только озадачить или даже напугать своей неопределённостью. Представьте себе геометрическую фигуру, которая не имеет измерений.
— Или человека, живущего без идеалов и принципов, такой человек воплощает собой некий первобытный хаос.
— А где часть и доля совпадают по числовому значению?
— Там, где целое и часть совпадают по размерам. Например, мы выбрали целое-меру, а оно совпало, например, с эталоном длины – 1 метром. Тогда ½ от целого и ½ от метра совпадут.
— А могут ли совпасть доля и целое?
— Вряд ли, ведь не могут же, например, совпасть ½ и 20 см.
— Я думаю, могут, если доля будет равна единице, например, две вторых, три третьих и т.д.
— А могут ли совпасть и доля, и целое, и часть?
— С точки зрения математики не могут, так как тогда они станут чем-то единым.
— Наверное могут, но только тогда, когда они будут равны нулю, то есть в точке.
— Да, точка таинственная фигура: из неё как бы всё разворачивается и в неё же всё сворачивается.
— А можно ли связать целое, долю и часть?
— Конечно можно, с помощью пропорции. Пропорция есть органичная связь доли,частии целого.Например, ¼ = 15 мин./60 мин..
— Не зря великий Платон говорил: «Однако два предмета сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое. И задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция…».
— Значит, мы в процессе рассуждений осмыслили пять понятий «всё», «целое», «доля», «часть» и «пропорция».
— Давайте попробуем дать им определения.
— С помощью слова «всё» мы можем попытаться «объять необъятное», то есть нечто самое большое.
— Целое – это то, с помощью чего мы измеряем, и то, к чему приобщаются части. При этом, целое не всегда самое большое.
— Часть – это то, что приобщается к целому и тем самым обретает размерность, соизмеримость, определённость.
— Доля – это то, что связывает целое и часть; она всегда «помнит» о части и целом.
— Именно, целое, доля и часть составляют пропорцию: часть / целое = доля.
— Итак, давайте лаконично отрефлексируем самое важное, к чему мы пришли в ходе нашего диалога.
— Есть число, которое осмысливается в движении – это доля.
— Часть и целое в задачах относительные величины. Целое может выступать в роли части, а часть в роли целого.
— Поэтому математика не такая уж статичная или даже застывшая наука, как её представляют. В какой-то момент числа оживают.
— Понятия целое, доля и часть важны не только в математике, но и в культуре, духовной жизни человека.
— Вот почему древние греки и другие древние народы считали математику магической наукой, а числа обожествляли.
— Данные понятия как бы моделируют мышление человека: ведь мышление есть постоянное нахождение меры, соответствия, пропорции.
— Это действительно метапредметные понятия, работу которых мы можем обнаружить на всех предметах, даже если мы их и не озвучиваем.
— Уважаемые ребята! Сегодня мы плодотворно поразмышляли, пришли к очевидным и неожиданным мыслям. Оказалось, что математические понятия далеко выходят за её границы – в жизнь и культуру, помогают человеку упорядочивать окружающий мир, духовную сферу. С вашего согласия на следующем занятии мы поразмышляем о пропорции. Кто возьмётся за подготовку следующего заседания? До следующей встречи!
Литература:
1. Мануйлов Ю.С. Воспитание средой: сборник статей разных лет. — Н.Новгород: Нижегородский гуманитарный цeнтр, 2003. – 119 c.